Question

已知函數(shù)f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離等于

π

2

，在△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，若a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離等于

π

2

，確定出f（x）周期為π，確定出ω的值，得出f（x）解析式，由f（A）=1，求出A的度數(shù)，再由a的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，與b+c=3聯(lián)立求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx=2cos（2ωx-

π

3

），
∵ω＞0，f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離等于

π

2

，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，即ω=1，
∴f（x）=2cos（2x-

π

3

），
由f（A）=1，得到2cos（2A-

π

3

）=1，即cos（2A-

π

3

）=

1

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc①，
∵b+c=3，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=9②，
聯(lián)立①②，解得：bc=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．