【題目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),| ﹣ |= .
(1)求cos(α﹣β)的值;
(2)若﹣ <β<0<α< ,且sinβ=﹣ ,求sinα的值.
【答案】
(1)解:∵ =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),∴| |=| |=1,
∴| ﹣ |2= =1+1﹣2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2﹣2cos(α﹣β),
又∵| ﹣ |= ,
∴| ﹣ |2=2﹣2cos(α﹣β)= ,
∴cos(α﹣β)= ;
(2)解:∵﹣ <β<0<α< ,∴0<α﹣β<π,
由cos(α﹣β)= 可得sin(α﹣β)= ,由sinβ=﹣ 可得cosβ= ,
∴sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ
= =
【解析】(1)由模長(zhǎng)公式和三角函數(shù)公式可得| ﹣ |2=2﹣2co(α﹣β)= ,變形可得;(2)結(jié)合角的范圍分別可得sin(α﹣β)= 和cosβ= ,而sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ,代入化簡(jiǎn)可得.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的兩角和與差的余弦公式,需要了解兩角和與差的余弦公式:才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意,使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求三棱錐C﹣BEP的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是公差不為零的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各5個(gè)城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示:
其中一個(gè)數(shù)字被污損.
(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.
(2)隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情,從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間(單位:小時(shí))與年齡(單位:歲),并制作了對(duì)照表(如下表所示)
年齡(歲) | 20 | 30 | 40 | 50 |
周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間(小時(shí)) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
由表中數(shù)據(jù),試求線性回歸方程,并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間.
參考公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓內(nèi),過的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)是否存在實(shí)數(shù)t,使直線和直線OP的傾斜角互補(bǔ)?若存在,求出的值,若不存在,試說明理由;
(Ⅱ)求面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程.
(1)若是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù), 是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若時(shí)從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù), 是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+2﹣x ,
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù);
(3)若f(x)=52﹣x+3,求x的值.
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