Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)t，使直線和直線OP的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出的值，若不存在，試說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求面積S的最大值．

Answer 1

【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)出直線方程為，代入橢圓方程得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，則可得，利用可建立的關(guān)系，即，上面的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即判別式，由此可得的范圍．注意特殊情形的討論，最后由直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，即斜率和為0可求得，若不能求出，說(shuō)明不存在）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）得直線方程為，關(guān)鍵是由表示出， ，這是的函數(shù)，可函數(shù)知識(shí)易求最值.

試題解析：

（Ⅰ）存在.

由題意直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程

是

代入得：

.（1）

設(shè)，，則，即，

解得：，

此時(shí)方程（1）即

由解得，，

（或由解得，）

當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的斜率為，只需，

即，解得，均符合題意.

（Ⅱ）由（1）知的方程是，

所以，

，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，.

點(diǎn)晴：解析幾何中存在性問(wèn)題的求解方法：

1．通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化，其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于特定參數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在．

2．反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題的常用方法．