Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點C（

3

，

1

2

）且離心率為

3

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A，B，M是橢圓E上三點，且滿足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，點P是線段的中點，試問：點P是否在橢圓G：

x2

2

+2y²=1上？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點C在橢圓上滿足橢圓的方程及其離心率計算公式和a²=b²+c²即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程可得關(guān)系式．由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，可得M的坐標，再代入橢圓可得關(guān)系式．利用中點坐標公式可得點P的坐標，代入橢圓G：

x2

2

+2y²=1驗證即可．

解答： 解：（1）由過點C（

3

，

1

2

）且離心率為

3

2

．
可得

3 a2 + 1 4b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1．
故所求橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）點P在橢圓G：

x2

2

+2y2=1上．
證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1 4 + y 2 1 =1 x 2 2 4 + y 2 2 =1

①
由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得：M(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)，
∵M是橢圓E：

x2

4

+y2=1，
∴

1

4

(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，

9

25

(

x 2 1

4

+

y

2 1

)+

16

25

(

x 2 2

4

+

y

2 2

)+

24

5

(

x1x2

4

+y1y2)=1．
由①得：

9

25

+

16

25

+

24

5

(

x1x2

4

+y1y2)=1，即

x1x2

4

+y1y2=0．
線段AB的中點P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，

( x1+x2 2 )2

2

+2(

y1+y2

2

)2=

(x1+x2)2

8

+

1

2

(y1+y2)2=

1

2

(

x 2 1

4

+

y

2 1

)+

x1x2

4

+y1y2+

1

2

(

x

2 2

+

y

2 2

)
=

1

2

+0+

1

2

=1．
∴點P在橢圓G：

x2

2

+2y2=1上．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點在橢圓上滿足橢圓的方程、中點坐標公式、向量的坐標運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．