【題目】過拋物線y=焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在直線y=-1上,若△ABC為正三角形,則其邊長為
A. 11 B. 13 C. 14 D. 12
【答案】D
【解析】
設(shè)出點的坐標(biāo),聯(lián)立直線與拋物線的方程,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)和拋物線的弦長公式整理計算即可求得最終結(jié)果.
拋物線焦點為(0,1),設(shè),線段AB的中點,
很明顯直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k,則直線方程為y=kx+1,
由,消y可得x24kx4=0,
∴x1+x2=4k,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4,
∴x0=2k,y0=2k2+1,
∴D(2k,2k2+1),
∴線段AB的垂直平分線的方程為y2k21=(x2k),
即y=x+2k2+3,令y=1,則x=2k3+4k,∴C(2k3+4k,1)
∴點C到直線AB的距離,
∵△ABC為正三角形,∴,
∴,
整理可得k2=2,∴|AB|=4k2+4=12.
本題選擇D選項.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e為自然對數(shù)的底數(shù),a,b∈R)
(1)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),求f′(x)的遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a>0時,證明:f′(x)的最小值小于零;
(3)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合條件的最小整數(shù)b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個,分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個球.
(Ⅰ)若兩個球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(Ⅱ)在(1)的條件下,記兩球編號的差的絕對值為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個命題中,真命題的序號有 .(寫出所有真命題的序號)
①若,則“”是“”成立的充分不必要條件;
②命題“使得”的否定是“均有”;
③命題“若,則或”的否命題是“若,則”;
④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
與的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時,
由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上,當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,點為拋物線上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足對任意的x1 , x2 , 都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立.若正實數(shù)a,b滿足f(a)+f(2b﹣1)=0,則 的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分別是BC,A1B1的中點.
(1)求證:DE∥平面ACC1A1;
(2)若AB⊥BC,AB=BC,∠ACB1=60°,求直線BC與平面AB1C所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f′(x)+f(x)<0,設(shè)a=f(m﹣m2),b=e f(1),則a,b的大小關(guān)系是( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b的大小與m的值有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.
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