Question

11．已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在此橢圓上，則此橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 通過(guò)題意畫(huà)出圖形，利用勾股定理及橢圓的定義計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則M點(diǎn)必在y軸上，如圖，連結(jié)PF₂，
∵△MF₁F₂為正三角形，
∴PF₁=$\frac{1}{2}$MF₁=$\frac{1}{2}$F₁F₂=c，
PF₂=$\sqrt{{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}-P{{F}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3}$c=2a-c，
∴2a=（$\sqrt{3}$+1）c，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\sqrt{3}$-1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．