在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長為，離心率為.

(I)求橢圓的方程;

(II) 為橢圓上滿足的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線交橢圓與點，設，求實數(shù)的值.

 

【答案】

(I)         (Ⅱ)  或

【解析】(I)設橢圓的方程為,

由題意知，解得

因此橢圓的方程為

(II)（1）當兩點關于軸對稱時，

設直線的方程為，由題意知或，

將代入橢圓方程得.

所以

解得或.

又，

因為為橢圓上一點，所以，或

又因為所以或

（2）當兩點關于軸不對稱時，

設直線的方程為，將其代入橢圓方程得

.

設，由判別式可得，

此時

所以，

因為點到直線的距離為，

所以

令，則

解得或，即或.

又，

因為為橢圓上一點，所以，

即，所以或

又因為所以或

經(jīng)檢驗，適合題意.

綜上可知或

【考點定位】本題基于橢圓問題綜合考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關系、平面向量的坐標運算等知識，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.第一問通過橢圓的性質(zhì)確定其方程，第二問根據(jù)兩點關于軸的對稱關系進行分類討論，分別設出直線的方程，通過聯(lián)立、判斷、消元等一系列運算“動作”達成目標.本題極易簡單考慮設直線的形式而忽略斜率不存在的情況造成漏解.在聯(lián)立方程得到后，后續(xù)運算會多次出現(xiàn)這一式子，換元簡化運算不失為一種好方法，令，搭建了與的橋梁，使坐標的代入運算更為順暢，使“化繁為簡”這一常用原則得以完美呈現(xiàn).

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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