（本小題滿(mǎn)分12分）
已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

（1）.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）思路一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
依題意可知曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
由，化簡(jiǎn)即得.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，得，
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進(jìn)一步得切線的方程為.
由，得.
由，得.
根據(jù)，得圓心，半徑，
由弦長(zhǎng)，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系，確定.
試題解析：解法一：（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，則，
由，得切線的斜率
，
所以切線的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.

解法二：
（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
則，
依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，曲線的方程為.
（2）同解法一.
考點(diǎn)：拋物線的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足AM⊥AN．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知?jiǎng)又本�y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，求斜率k的值；
②已知點(diǎn)M(－，0)，求證：·為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí)，求四邊形OPTQ的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)在橢圓上，且，定點(diǎn).
（1）求證：當(dāng)時(shí)；
（2）若當(dāng)時(shí)有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時(shí)、兩點(diǎn)所在直線方程，若不存在，給出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本題滿(mǎn)分13分）如圖，分別過(guò)橢圓：左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線相交于點(diǎn)，與橢圓分別交于不同四點(diǎn)，直線的斜率、、、滿(mǎn)足．已知當(dāng)軸重合時(shí)，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)，使得為定值．若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，說(shuō)明理由．

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