Question

【題目】設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n ， 記Dn內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=2nf（n），Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn；
（3）記 ，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：畫出 的可行域

f（1）=2+1=3

f（2）=3+2+1=6

當(dāng)x=1時(shí)，y=2n，可取格點(diǎn)2n個(gè)；當(dāng)x=2時(shí)，y=n，可取格點(diǎn)n個(gè)

∴f（n）=3n

（2）解：由題意知：bn=3n2n

Sn=321+622+923+…+3（n﹣1）2n﹣1+3n2n

∴2Sn=322+623+…+3（n﹣1）2n+3n2n+1

∴﹣Sn=321+322+323+…32n﹣3n2n+1

=3（2+22+…+2n）﹣3n2n+1

=3

=3（2n+1﹣2）﹣3nn+1

∴﹣Sn=（3﹣3n）2n+1﹣6

Sn=6+（3n﹣3）2n+1

（3）解：

∴T1＜T2=T3＞T4＞…＞Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥ ．

【解析】（1）據(jù)可行域，求出當(dāng)x=1，x=2時(shí)，可行域中的整數(shù)點(diǎn)，分別求出f（1），f（2），f（n）．（2）由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減的方法求出數(shù)列的和．（3）求出 ，據(jù)它的符號(hào)判斷出Tn的單調(diào)性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的相關(guān)知識(shí)，掌握不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部．