Question

記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）：利用待定系數(shù)法，設(shè)首項(xiàng)和公差，由a₂+a₄=6，S₄=10，列方程組，可得數(shù)列首項(xiàng)和公差，從而得解．
（2）：由a_n=n，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ可知，要求{b_n}的前n項(xiàng)和，可利用錯(cuò)位相減的方法求得．（一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和）
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂+a₄=6，S₄=10，
可得，（2分），
即，
解得，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．（5分）
（Ⅱ）依題意，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，（7分）
又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，（9分）
兩式相減得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹（11分）==（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（12分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（13分）
點(diǎn)評：本題是數(shù)列求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的題型，高考常見，其中：
（1）可利用利用待定系數(shù)法求解，這是解數(shù)列題的一般方法，要熟練掌握．
（2）對于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和，這也是教材推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)的方法．另外數(shù)列求和的方法還有倒序相加，裂項(xiàng)相消，分組求和等方法，要熟練掌握．都是高考中常考的知識點(diǎn)．