Question

已知函數(shù)f（x）=cos（ω•x-θ）（其中ω＞0，θ∈[0，π]）是奇函數(shù)，又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，且在區(qū)間（0，

π

12

）內(nèi)函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)．
（1）求θ和ω的值；
（2）函數(shù)f（x）圖象是中心對稱圖形，請寫出所有對稱中心的坐標(biāo)；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函數(shù)，可得f（0）=cosθ=0，又θ∈[0，π]，可求得θ，由

π

12

=

T

4

，T=

π

3

=

2π

T

可求得ω；
（2）由（1）可得，f（x）=cos（6x-

π

2

），由f（x）=0即可求得其對稱中心；
（3）f（x）=cos（6x-

π

2

）=sin6x，由2kπ-

π

2

≤6x≤2kπ+

π

2

可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函數(shù)，
∴cosθ=0，又θ∈[0，π]），則θ=

π

2

…2．
奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，且在區(qū)間（0，

π

12

）內(nèi)函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，
則

π

12

=

T

4

，T=

π

3

，
∴ω=

2π

T

=6…6
（2）函數(shù)f（x）=cos（6x-

π

2

），由f（x）=0得6x-

π

2

=kπ-

π

2

…7
∴x=

kπ

6

（k∈Z）．函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是（

kπ

6

，0），其中k∈Z…9
（3）f（x）=cos（6x-

π

2

）=sin6x，
∴由2kπ-

π

2

≤6x≤2kπ+

π

2

得：

kπ

3

-

π

12

≤x≤

kπ

3

+

π

12

（k∈Z）…11
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

kπ

3

-

π

12

，

kπ

3

+

π

12

]（k∈Z）…12

點(diǎn)評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，θ和ω的值的確定是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，考查綜合分析與轉(zhuǎn)化運(yùn)用的能力，屬于中檔題．