Question

已知三棱錐P-ABC，AB⊥BC，PA⊥PB，BC=6，AC=20，D為AC的中點(diǎn)，且△PCD是正三角形．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-B的正弦值；
（3）若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐M-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)題中的已知條件，求出相應(yīng)的AB、BP的長，進(jìn)一步利用線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定，得到結(jié)論．
（2）首先說明∠BPC就是二面角D-AP-B的平面角，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的定義求解．
（3）首先對錐體進(jìn)行轉(zhuǎn)化，V_M-BCD=V_D-BCM，然后利用錐體的體積公式求出結(jié)果．

解答：
（1）證明：如圖所示
已知三棱錐P-ABC，AB⊥BC，BC=6，AC=20，
利用勾股定理得：AB=2

91

∵D為AC的中點(diǎn)，且△PCD是正三角形
利用余弦定理得：AP=10

3

  PC=10
∵PA⊥PB
∴BP=8
在△BCP中BC²+BP²=CP²
∴BC⊥BP
BC⊥平面ABP
BC?平面ABC
∴平面PAB⊥平面ABC
（2）解：由（1）得：BC⊥平面ABP
BC⊥AP
∴AP⊥平面BPC
∠BPC就是二面角D-AP-B的平面角
sin∠BPC=

3

5

（3）解：D、M分別是AC、CP的中點(diǎn)
∴DM∥AP
DM⊥平面BPC
V_M-BCD=V_D-BCM=

1

3

S_△BCM•DM=

1

3

•12•

1

2

•10

3

=20

3

故答案為：（1）略
（2）sin∠BPC=

3

5

（3）V_M-BCD=20

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：勾股定理及逆定理，線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定，二面角的定義及應(yīng)用，等體積法的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．