【題目】如圖,已知橢圓C: ,點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)MN(異于x軸)交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1)若橢圓C過(guò)點(diǎn),且右準(zhǔn)線(xiàn)方程為,求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)BN的斜率是直線(xiàn)AM斜率的2倍,求橢圓C的離心率.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)和右準(zhǔn)線(xiàn)方程寫(xiě)出橢圓方程;(2)設(shè), ,則, , ;因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,所以,聯(lián)立方程消元,根據(jù)韋達(dá)定理可得,又,進(jìn)而求得離心率.
試題解析:(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),所以,
又已知右準(zhǔn)線(xiàn)方程為,所以, ,
可解得, ;或, ;
所以橢圓的方程為或.
(2)設(shè), ,則, , ;
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,
所以,
設(shè)直線(xiàn): ,與橢圓: 聯(lián)立方程組消去得
,
,
將, 代入上式化簡(jiǎn)得
,又;所以,
得,即,解得或,
又,所以,即橢圓的離心率為.
點(diǎn)睛:本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題,其中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為通徑. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系從幾何角度看:當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)平行時(shí),直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)也只有一個(gè)交點(diǎn).從代數(shù)角度看:設(shè)直線(xiàn)L的方程與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立得到.若=0,當(dāng)圓錐曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)時(shí),直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)平行或重合;當(dāng)圓錐曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)時(shí),直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合.若,設(shè). 時(shí),直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn),相交. 時(shí),直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相切于一點(diǎn),相切. 時(shí),直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn),相離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,側(cè)面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F(xiàn)為SD的中點(diǎn).
(1)求三棱錐S﹣FAC的體積;
(2)求直線(xiàn)BD與平面FAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)袋子中裝有三個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的紅球和三個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的白球,三個(gè)紅球按其編號(hào)分別記為a1 , a2 , a3 , 三個(gè)白球按其編號(hào)分別記為b1 , b2 , b3 , 袋中的6個(gè)球除顏色和編號(hào)外沒(méi)有任何差異,現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)地取出兩個(gè)球,
(1)列舉所有的基本事件,并寫(xiě)出其個(gè)數(shù);
(2)規(guī)定取出的紅球按其編號(hào)記分,取出的白球按其編號(hào)的2倍記分,取出的兩個(gè)球的記分之和為一次取球的得分,求一次取球的得分不小于6的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其過(guò)點(diǎn),其長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為,直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 ﹣ ,則使得f(2x)>f(x﹣3)成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(1,+∞)
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x
(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣m在[﹣ ,3]上有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=ex﹣ex+4n2﹣2n(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),如果對(duì)任意的x1 , x2∈[ ,2],都有f(x1)≤h(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐的各棱長(zhǎng)都相等,為中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的個(gè)數(shù)是( )
A.9
B.10
C.18
D.20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若 ,試求f(x)在區(qū)間[﹣2,6]上的最值;
(3)是否存在m,使f(2( )2﹣4)+f(4m﹣2( ))>0對(duì)任意x∈[1,2]恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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