Question

13．設(shè)平行于y軸的直線分別與函數(shù)y₁=log₂x及y₂=log₂x+2的圖象交于B，C兩點，點A（m，n）位于函數(shù)y₂的圖象上，若△ABC為正三角形，則m•2ⁿ=（　�。�

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 12
• C． 12$\sqrt{3}$
• D． 15

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C的坐標，由線段BC∥y軸，△ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關(guān)系，求出p、q的值，計算出結(jié)果

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)A（m，n），B（x₀，log₂x₀），C（x₀，2+log₂x₀），
∵線段BC∥y軸，△ABC是等邊三角形，
∴BC=2，2+log₂m=n，
∴m=2^n-2，
∴4m=2ⁿ；
又x₀-m=$\sqrt{3}$，
∴m=x₀-$\sqrt{3}$，
∴x₀=m+$\sqrt{3}$；
又2+log₂x₀-n=1，
∴l(xiāng)og₂x₀=n-1，x₀=2^n-1=$\frac{{2}^{n}}{2}$；
∴m+$\sqrt{3}$=$\frac{{2}^{n}}{2}$；2m+2$\sqrt{3}$=2ⁿ=4m，
∴m=$\sqrt{3}$，2ⁿ=4$\sqrt{3}$；
∴m•2ⁿ=$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=12；
故選：B

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對數(shù)的運算問題，是較難的題目．