Question

已知A，B，C是橢圓W：上的三個點，O是坐標原點．
（Ⅰ）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)B的坐標為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點的坐標，從而得到線段AC的長等于．再結(jié)合OB的長為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時菱形OABC的面積；
（II）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標滿足=r²-1，從而得到A、C的橫坐標相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．
解答：解：（I）∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點（2，0）
∴直線AC是BD的垂直平分線，可得AC方程為x=1
設A（1，t），得，解之得t=（舍負）
∴A的坐標為（1，），同理可得C的坐標為（1，-）
因此，|AC|=，可得菱形OABC的面積為S=|AC|•|B0|=；
（II）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，
設|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x²+y²=r²
與橢圓的公共點，解之得=r²-1
設A、C兩點橫坐標分別為x₁、x₂，可得A、C兩點的橫坐標滿足
x₁=x₂=•，或x₁=•且x₂=-•，
①當x₁=x₂=•時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；
②若x₁=•且x₂=-•，則x₁+x₂=0，
可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述，可得當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．
點評：本題給出橢圓方程，探討了以坐標原點O為一個頂點，其它三個頂點在橢圓上的菱形問題，著重考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．