Question

已知首項為的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得2S₃=-2S₂+4S₄，變形為S₄-S₃=S₂-S₄，進而求出公比q的值，代入通項公式進行化簡；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出，代入再對n分類進行化簡，判斷出S_n隨n的變化情況，再分別求出最大值，再求出的最大值．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差數(shù)列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=，
∵，∴=；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，S_n==1-，
∴，
當(dāng)n為奇數(shù)時，==，
當(dāng)n為偶數(shù)時，=，
∴隨著n的增大而減小，
即，且，
綜上，有成立．
點評：本題考查了等差（等比）數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式，以及數(shù)列的基本性質(zhì)等，考查了分類討論的思想、運算能力、分析問題和解決問題的能力．