Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求k的值
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為y=f（x）為偶函數(shù)，
所以x∈R，f（﹣x）=f（﹣x），
即log₉（9﹣x+1）﹣kx=log₉（9x+1）+kx對于x∈R恒成立．
即 恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒為零，
∴ ．
（2）由題意知方程 ，即方程log₉（9x+1）﹣x=b無解．
令g（x）=log₉（9x+1）﹣x，
則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．
因為 
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則 ，從而 ．
于是 ，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（﹣∞，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
因為 ，所以 ．
所以b的取值范圍是（﹣∞，0]．