Question

如圖，P是二面角α-AB-β棱AB上的一點(diǎn)，分別在α，β上引射線PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小是

 

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Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角及其度量，我們要根據(jù)二面角的定義，在兩個(gè)平面的交線上取一點(diǎn)Q，然后向兩個(gè)平面引垂線，構(gòu)造出二面角的平面角，然后根據(jù)平面幾何的性質(zhì)，求出含二面角的平面角的三角形中相關(guān)的邊長，解三角形即可得到答案．

解答：解：過AB上一點(diǎn)Q分別在α，β內(nèi)做AB的垂線，交PM，PN于M點(diǎn)和N點(diǎn)
則∠MQN即為二面角α-AB-β的平面角，如下圖所示：
設(shè)PQ=a，則∵∠BPM=∠BPN=45°
∴QM=QN=a
PM=PN=

2

a
又由∠MPN=60°，易得△PMN為等邊三角形
則MN=

2

a
解三角形QMN易得∠MQN=90°
故答案為：90°

點(diǎn)評(píng)：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠MQN為二面角α-AB-β的平面角，通過解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解題過程為：作∠MQN→證∠MQN是二面角的平面角→計(jì)算∠MQN，簡記為“作、證、算”．