Question

已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：
①f（0）=f（1）=0；
②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
若對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜m恒成立，則m的最小值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  1

  2π

• D、

  1

  8

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

kx，0≤x≤ 1 2 k-kx， 1 2 ≤x≤1

（0＜k＜

1

2

），分x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]；x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]；y∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]；及當x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]時，四類情況討論，可證得對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

恒成立，從而可得m≥

1

4

，繼而可得答案．

解答： 解：依題意，定義在[0，1]上的函數(shù)y=f（x）的斜率|k|＜

1

2

，
依題意，k＞0，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

kx，0≤x≤ 1 2 k-kx， 1 2 ≤x≤1

（0＜k＜

1

2

），滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
當x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]時，|f（x）-f（y）|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|

1

2

-0|=k×

1

2

＜

1

4

；
當x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]，|f（x）-f（y）|=|kx-（k-ky）|=|k（x+y）-k|≤|k（1+

1

2

）-k|=

k

2

＜

1

4

；
當y∈[0，

1

2

]，且x∈[

1

2

，1]時，同理可得，|f（x）-f（y）|＜

1

4

；
當x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]時，|f（x）-f（y）|=|（k-kx）-（k-ky）|=k|x-y|≤k×（1-

1

2

）=

k

2

＜

1

4

；
綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
∵對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜m恒成立，
∴m≥

1

4

，即m的最小值為

1

4

．
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考查分析、推理及運算能力，屬于難題．