【題目】已知函數(shù) ,a為正常數(shù).
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a= ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在(1)中當(dāng)a=0時,函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)為C(x0 , y0),記直線AB的斜率為k,試證明:k>f'(x0).
(3)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意的x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:
∵a= ,令f'(x)>0得x>2或
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
(2)解:證明:當(dāng)a=0時f(x)=lnx
∴
∴
又
不妨設(shè)x2>x1,要比較k與f'(x0)的大小,
即比較 與 的大小,
又∵x2>x1,
∴即比較 與 的大。
令 ,
則
∴h(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).
又 ,
∴ ,
∴ ,
即k>f'(x0);
(3)解:∵ ,
∴
由題意得F(x)=g(x)+x在區(qū)間(0,2]上是減函數(shù).
1°當(dāng) ,
∴
由 在x∈[1,2]恒成立.
設(shè)m(x)= ,x∈[1,2],則
∴m(x)在[1,2]上為增函數(shù),
∴
2°當(dāng) ,
∴
由 在x∈(0,1)恒成立
設(shè)t(x)= ,x∈(0,1)為增函數(shù)
∴a≥t(1)=0
綜上:a的取值范圍為
【解析】(1)由題意先把f(x)的解析式具體,然后求其導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0,解出的即為函數(shù)的增區(qū)間;(2)對于當(dāng)a=0時,先把f(x)=lnx具體出來,然后求導(dǎo)函數(shù),得到f′(x0),在利用斜率公式求出過這兩點(diǎn)的斜率公式,利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大;(3)因為g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意的x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,先寫出g(x)的解析式,利用該函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增,和單調(diào)不減兩種,以及對函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的理解,了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、,若C=45°,b=4 ,sinB= .
(1)求c的值;
(2)求sinA的值.
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【題目】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,且D,E分別是棱A1B1,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=AB。
(1)求證:EF∥平面BDC1;
(2)求三棱錐D-BEC1的體積。
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【題目】綜合題。
(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,|z|=1,且z+ =1,求z;
(2)已知復(fù)數(shù)z= ﹣(1+5i)m﹣3(2+i)為純虛數(shù),求實數(shù)m的值.
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【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=|x﹣a2|﹣a2 , 且對x∈R,恒有f(x﹣2)<f(x),則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N是棱A1B1 , B1B的中點(diǎn),求異面直線AM和CN所成角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0,]上的單調(diào)性.
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(0)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣∞,e4)
B.(e4 , +∞)
C.(﹣∞,0)
D.(0,+∞)
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【題目】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意的x∈R都有3f′(x)>f(x)成立,則( )
A.3f(3ln2)>2f(3ln3)
B.3f(3ln2)與2f(3ln3)的大小不確定
C.3f(3ln2)=2f(3ln3)
D.3f(3ln2)<2f(3ln3)
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