Question

已知兩條直線l₁：y=m和l₂：y=

4

m+1

（m＞0），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A、B，l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于C、D，記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b，當(dāng)m變化時(shí)，

b

a

的最小值為（　�。�

• A、16
• B、8
• C、8

  2

• D、4

  2

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，利用基本不等式可求最小值

解答： 解：在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=

4

m+1

（m＞0），與y=|log₂x|的圖象，
解：設(shè)A，B，C，D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則由|log₂x|=m，解得x_A=2^-m，x_B=2^m；
由|log₂x|=

4

m+1

（m＞0），解得x_C=2-

4

m+1

，x_D=2

4

m+1

；
∴a=|x_A-x_C|=|2^-m-2-

4

m+1

|
b=|x_B-x_D|=|2^m-2

4

m+1

|，
則

b

a

=

|2m-2- 4 m+1 |

|2-m-2 4 m+1 |

=2^m•2

4

m+1

•

|2m-2 4 m+1 |

|2m-2 4 m+1 |

=2^m•2

4

m+1

=2m+

4

m+1

=2m+1+

4

m+1

-1≥22

(m+1)• 4 m+1

-1=2^4-1=2³=8，
當(dāng)且僅當(dāng)m+1=

4

m+1

，即m=1時(shí)取“=”號(hào)，
∴

b

a

的最小值為8，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解投影的概念并能把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．