Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）單調(diào)遞增（2）[1，+∞）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）對分類討論，當a≥1時，，滿足條件；當時，取，當0＜a＜1時，取，.

試題解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

當x∈（-∞，-1-）時，f’(x)<0；當x∈（-1-，-1+）時，f’(x)>0；當x∈（-1-，+∞）時，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）單調(diào)遞增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

當a≥1時，設(shè)函數(shù)h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)單調(diào)遞減，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以

f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

當0＜a＜1時，設(shè)函數(shù)g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)單調(diào)遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1

當0＜x＜1，，，取

則

當

綜上，a的取值范圍[1，+∞）

點睛:利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.