Question

7．焦點在x軸，離心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$橢圓的短軸為AB，M為橢圓上一點（不與四個端點重合），MA，MB交x軸于點E，F(xiàn)，若|OE|•|OF|=5，則橢圓的短軸長為4．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），設(shè)A（0，-b），B（0，b），M（m，n），E（e，0），F(xiàn)（f，0），運用點M滿足橢圓方程和三點共線的條件：斜率相等，化簡整理，即可求得a，再由離心率公式，求得c，進而得到橢圓的短軸長．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
設(shè)A（0，-b），B（0，b），M（m，n），E（e，0），F(xiàn)（f，0），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即m²=a²•$\frac{^{2}-{n}^{2}}{^{2}}$，①
由M，A，E共線可得，
k_MA=k_AE，即有$\frac{n+b}{m}$=$\frac{e}$，②
由M，B，F(xiàn)共線可得，
k_MB=k_BF，即有，$\frac{n-b}{m}$=$\frac{-f}$．③
由②×③，可得$\frac{{n}^{2}-^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{^{2}}{-ef}$，
將①代入可得，-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{ef}$，
即有ef=a²，
由題意可得ef=5，
即a²=5，解得a=$\sqrt{5}$，
由離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即有$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
求得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
即有橢圓的短軸長為4．
故答案為：4．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運用，注意點在橢圓上滿足橢圓方程，同時考查三點共線的條件：斜率相等，考查運算能力，屬于中檔題．