Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其半焦距為C，圓M的方程為（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²．
（1）若P是圓M上的任意一點，求證：$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$是定值；
（2）若橢圓經過圓上一點Q，且cos∠F₁QF₂=$\frac{11}{16}$，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{3}$（O為坐標原點），求圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y）是圓（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²上的任意一點，直接由兩點間的距離公式求得|PF₁|、|PF₂|，代入$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$利用圓的方程消去y后整理得答案；
（2）在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圓上，設|QF₂|=x，則|QF₁|=2x，橢圓半長軸長為$\frac{3}{2}x$，然后利用余弦定理求得x，則可得到a，c的關系，橢圓離心率可求；
（3）由（2）知，x=$\frac{4}{3}c$，即|QF₂|=$\frac{4}{3}c$，則|QF₁|=$\frac{8}{3}c$，然后結合$|\overrightarrow{QO}{|}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{Q{F}_{1}}+\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}$求得c的值，則圓M的方程可求．

解答 （1）證明：設P（x，y）是圓（x-$\frac{5c}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$c²上的任意一點，
$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{\frac{（x+c）^{2}+{y}^{2}}{（x-c）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{16{c}^{2}}{9}-{x}^{2}+\frac{10cx}{3}-\frac{25{c}^{2}}{9}+{x}^{2}+2cx+{c}^{2}}{\frac{16{c}^{2}}{9}-{x}^{2}+\frac{10cx}{3}-\frac{25{c}^{2}}{9}+{x}^{2}-2cx+{c}^{2}}}$=2．
∴$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$是定值2；
（2）解：在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圓上，設|QF₂|=x，則|QF₁|=2x，橢圓半長軸長為$\frac{3}{2}x$，4c²=x²+4x²-4x²×$\frac{11}{16}$，16c²=9x²，x=$\frac{4}{3}c$．
則a=$\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×\frac{4}{3}c=2c$，e=$\frac{1}{2}$；
（3）解：由（2）知，x=$\frac{4}{3}c$，即|QF₂|=$\frac{4}{3}c$，則|QF₁|=$\frac{8}{3}c$．
$|\overrightarrow{QO}{|}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{Q{F}_{1}}+\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}$=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{Q{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{Q{F}_{2}}{|}^{2}+2|\overrightarrow{Q{F}_{1}}||\overrightarrow{Q{F}_{2}}|cos∠{F}_{1}Q{F}_{2}）$
=$\frac{1}{4}（\frac{64}{9}{c}^{2}+\frac{16}{9}{c}^{2}+2•\frac{32}{9}•\frac{11}{16}{c}^{2}）=\frac{31}{9}{c}^{2}$，
由于|OQ|=$\frac{\sqrt{31}}{3}$，∴c=1，
∴圓M的方程為（x-$\frac{5}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$．

點評 本題考查橢圓的性質、定義、圓的有關性質及其運算，解三角形等，考查了計算能力，難度較大．