Question

已知F為拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點，若過焦點F的直線l交C₁于A，B兩點，使拋物線C₁在點A，B處的兩條切線的交點M恰好在圓C₂：x²+y²=8上．
（I）當p=2時，求點M的坐標；
（II）求△MAB面積的最小值及取得最小值時的拋物線C₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過求導即可得到切線的斜率，聯(lián)立切線的方程即可求得交點M的坐標，聯(lián)立直線l的方程與拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關系進一步化簡得到點M的坐標，再代入圓的方程即可得出；
（Ⅱ）相交、相切的解法同上，再利用弦長公式、點到直線的距離公式即可得到三角形的面積表達式，利用導數(shù)即可求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵p=2，∴拋物線C₁的方程為x²=4y，∴焦點F（0，1）．
設直線l的方程為y=kx+1，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
對x²=4y求導得y′=

x

2

，∴切線MA，MB的方程分別為y=

x1

2

x-

x12

4

，y=

x2

2

x-

x22

4

．
聯(lián)立

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，解得

x= x1+x2 2 y= x1x2 4

，即點M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，消去y得到x²-4kx-4=0，顯然△＞0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，∴點M（2k，-1）．
把點M的坐標代入圓C₂的方程得4k²+1=8，解得k=±

7

2

，
∴點M(±

7

，-1)．
（Ⅱ）是直線l的方程為y=kx+

p

2

，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
對x²=2py求導得y′=

x

p

，
∴切線MA，MB的方程分別為y=

x1

p

x-

x12

2p

，y=

x2

p

x-

x22

2p

，聯(lián)立解得交點M(

x1+x2

2

，

x1x2

2p

)．．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

得x²-2pkx-p²=0，得到x₁+x₂=2pk，x1x2=-p2．
∴點M(pk，-

p

2

)，代入圓C₂的方程得p2k2+

p2

4

=8，（*）
又弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(4p2k2+4p2)

=2p（1+k²）．
點M到直線l的距離d=

|pk2-(- p 2 )+ p 2 |

k2+1

=p

k2+1

．
∴S_△MAB=

1

2

×2p(1+k2)×p

k2+1

=p2(1+k2)

k2+1

．
由（*）得p2=

32

4k2+1

，代入上式整理得S△MAB=

32(1+k2) 3 2

4k2+1

．
令1+k²=t≥1，則S△MAB=

32t 3 2

4t-3

，則S′(t)=

16 t (4t-9)

(4t-3)2

，
∵在區(qū)間[1，

9

4

)上，S^′（t）＜0，∴S（t）單調(diào)遞減；
∵在區(qū)間(

9

4

，+∞)上，S^′（t）＞0，∴S（t）單調(diào)遞增．
∴當t=

9

4

，即k2=

5

4

，p2=

16

3

時，（S_△MAB）_min=18．
此時拋物線的方程為x2=

8 3

3

y．

點評：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交、相切問題的解題模式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式、利用導數(shù)求斜率及研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等是解題的關鍵．