Question

如圖，已知直線與拋物線和圓都相切，F(xiàn)是C₁的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線與圓相切，可得圓心到直線l₁：y=2x+m的距離等于半徑，從而可求m的值；設(shè)l₁與拋物線的相切點(diǎn)為A（x，y），求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得a的值；
（2）設(shè)，由（1）知以A為切線l的方程為，從而可得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)，利用四邊形FAMB是以FA，F(xiàn)B為鄰邊的平行四邊形，可得，由此可證結(jié)論．
解答：（1）解：由已知，圓的圓心（0，-1），
圓心到直線l₁：y=2x+m的距離，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
設(shè)l₁與拋物線的相切點(diǎn)為A（x，y），得2ax=2，∴，
代入直線方程得：，∴，
所以m=-6，…（6分）
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為，焦點(diǎn)，
設(shè)，由（1）知以A為切線l的方程為，…（8分）
令x=0，得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
所以=（x₁，-），=（0，--），…（10分）
∵四邊形FAMB是以FA，F(xiàn)B為鄰邊的平行四邊形，
∴=（x₁，-3）…（13分）
因?yàn)镕是定點(diǎn)，所以點(diǎn)M在定直線上．     …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定切線方程，屬于中檔題．