Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，O分別為DD₁，AC的中點，AB=2．
（1）求證：B₁O⊥面ACM；
（2）求三棱錐O-AB₁M的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B₁O⊥面ACM．
（2）由VO-AB1M=VB1-AMO，利用等積法能求出三棱錐O-AB₁M的體積．

解答： （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則O（1，1，0），B₁（2，2，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），M（0，0，1），

OB1

=（1，1，2），

AM

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），
∴

OB1

•

AM

=0，

OB1

•

AC

=0，
∴OB₁⊥AM，OB₁⊥AC，
又AM∩AC=A，∴B₁O⊥面ACM．
（2）解：

AO

=（-1，1，0），
cos＜

AM

，

AO

＞=

2

5 • 2

=

10

5

，
∴sin∠MAO=

1-( 10 5 )2

=

15

5

，
∴S_△AMO=

1

2

•|

AM

|•|

AO

|•Sin∠AMO =

1

2

×

5

×

2

×

15

5

=

6

2

，
∴VO-AB1M=VB1-AMO=

1

3

×S△AMO×|

OB1

|=

1

3

×

6

2

×

6

=1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．