已知拋物線y2=4x，直線l：y=-
1
2
x+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與y軸負(fù)半軸相交，求△AOB面積的最大值．
考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）聯(lián)立
y=-
1
2
x+b
y2=4x
得y2+8y-8b=0．由此利用根的判別式、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出圓的方程．
（Ⅱ）由直線l與y軸負(fù)半軸相交，得-1＜b＜0，由點(diǎn)O到直線l的距離d=
-2b
5
，得S△AOB=
1
2
|AB|d=4
2
b3+2b2
．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出△AOB的面積的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立
y=-
1
2
x+b
y2=4x
得：y2+8y-8b=0．
依題意應(yīng)有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
設(shè)圓心Q（x0，y0），則應(yīng)有x0=
x1+x2
2
，y0=
y1+y2
2
=-4．
因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，
又|AB|=
(1+4)[(y1+y2)2-4y1•y2]
=
5(64+32b)
．
所以|AB|=2r，
即
5(64+32b)
=8，
解得b=-
8
5
．
所以x0=
x1+x2
2
=2b+8=
24
5
，
所以圓心為（
24
5
，-4）．
故所求圓的方程為（x-
24
5
）2+（y+4）2=16．．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l與y軸負(fù)半軸相交，
∴b＜0，
又l與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅰ）知b＞-2，
∴-2＜b＜0，
直線l：y=-
1
2
x+b整理得x+2y-2b=0，點(diǎn)O到直線l的距離d=
|-2b|
5
=
-2b
5
，
所以∴S△AOB=
1
2
|AB|d=-4b
2
2+b
=4
2
b3+2b2
．  
令g（b）=b3+2b2，-2＜b＜0，
g′（b）=3b2+4b=3b（b+
4
3
），
∴g（b）在（-2，-
4
3
）增函數(shù)，在（-
4
3
，0）是減函數(shù)，
∴g（b）的最大值為g（-
4
3
）=
32
27
．
∴當(dāng)b=-
4
3
時(shí)，△AOB的面積取得最大值
32
3
9
．
點(diǎn)評：本題主要考查圓的方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線與拋物線、圓等知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(1， -2)，
b
=(x， y)．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求滿足
a
•
b
＞0的概率．
（Ⅱ）若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足
a
•
b
=-1的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個(gè)不同的平面和兩條不重合的直線，有下列四個(gè)命題
①若m∥n，n?α，則m∥α              
②若a⊥β，α⊥β，則a∥α
③若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β     
④若m⊥n，α∥β，m⊥α，則n∥β
則以上命題錯誤的個(gè)數(shù)為（　　）
A、1個(gè)B、2個(gè)C、2個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若3sinα+cosα=0，則
1
cos2α+sin2α
的值為（　�。�
A、
10
3
B、
5
3
C、
2
3
D、-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，O分別為DD1，AC的中點(diǎn)，AB=2．
（1）求證：B1O⊥面ACM；
（2）求三棱錐O-AB1M的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=
1+an
1-an
（n∈N*），則a3的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法：
A、一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真
B、“a＞b”與“a+c＞b+c”不等價(jià)
C、“a2+b2=0，則a，b全為EBD”的逆否命題是“若PBC全不為PCD，則ABCD-A1B1C1D1”
D、一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真
其中正確的有
 
個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x∈R，x2+2x+m-5＜0，命題q：?k∈R，直線kx-y+k+1=0與橢圓
x2
4
+
y2
m
=1有公共點(diǎn)．若命題“p 且q”為真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（λ，2），
b
=（-3，5），且
a
與
b
的夾角為銳角，則λ的取值范圍（　　）
A、λ＜
10
3
B、λ≥
10
3
C、λ＜
10
3
且λ≠-
6
5
D、λ≤
10
3
且λ≠-
6
5

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同步練習(xí)冊答案