Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，其前n項和s_n滿足sn2=an(sn-

1

2

)
（1）證明：數(shù)列{

1

sn

}為等差數(shù)列，并求s_n表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=

sn

2n+1

，求{b_n}的前n項和T_n

Answer 1

分析：（1）由題意sn2=an(sn-

1

2

)結(jié)合a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得：sn2=(sn-sn-1)(sn-

1

2

)(n≥2)，由此能夠推出數(shù)列{

1

sn

}為公差為2的等差數(shù)列，再由

1

sn

=

1

s1

+(n-1)2=1+(n-1)2=2n-1，知sn=

1

2n-1

．
（2）由bn=

sn

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

解答：解：（1）證明：由題意sn2=an(sn-

1

2

)結(jié)合a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得：
sn2=(sn-sn-1)(sn-

1

2

)(n≥2)，
化簡整理得

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，
知數(shù)列{

1

sn

}為公差為2的等差數(shù)列，
且

1

sn

=

1

s1

+(n-1)2=1+(n-1)2=2n-1，sn=

1

2n-1

（2）解：bn=

sn

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．