【題目】已知橢圓：的離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為，過點與垂直的直線為，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，，

【解析】

（Ⅰ）設，，根據(jù)點，都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據(jù)“設而不求”的思想，結合離心率以及中點坐標公式、直線的斜率建立等式即可求解.

（Ⅱ）設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，從而求出直線的方程，再由過點與垂直的直線為，求出，兩方程聯(lián)立，消去，即可求解.

（Ⅰ）由題可知，直線的斜率存在.

設，，由于點，都在橢圓上，

所以①，②，

①-②，化簡得③

又因為離心率為，所以.

又因為直線過焦點，線段的中點為，

所以，，，

代入③式，得，解得.

再結合，解得，，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，，

又過點且與橢圓只有一個公共點，所以，

所以：，④

因為過點且與垂直，所以：，⑤

聯(lián)立④⑤，消去，得，

又，所以，從而可得，

所以與的交點在定直線上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設函數(shù),則( )．

A. 當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B. 當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值

C. 當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D. 當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時，游戲結束.設棋子位于第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合．終邊交單位圓于點，且，將角的終邊按逆時針方向旋轉，交單位圓于點，記．

（1）若，求；

（2）分別過作軸的垂線，垂足依次為，記的面積為，的面積為，若，求角的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，若，當陽馬體積最大時，則塹堵的外接球體積為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．

（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，角的最大值是多少？

（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定圓,動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）設點在上運動,與關于原點對稱，且,當的面積最小時, 求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；

（2）如果當時，的值域是，求與的值；

（3）對任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案