Question

5．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n，且-3，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，n∈N₊，a₁=3，函數(shù)f（x）=log₃x．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（n+3）[f（{a}_{n}）+1]}$，設(shè){b_n}的前n項和為P_n，解不等式P_n≤$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{312}$．

Answer 1

分析 （1）由-3，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，可得2S_n=a_n+1-3，利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）函數(shù)f（x）=log₃x，a_n=3ⁿ，可得f（a_n）=n．于是b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，利用“裂項求和”可得P_n，代入化簡即可解出．

解答 解：（1）∵-3，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2S_n=a_n+1-3，
∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-3，
2a_n=a_n+1-a_n，
化為a_n+1=3a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵函數(shù)f（x）=log₃x，a_n=3ⁿ，
∴f（a_n）=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n．
b_n=$\frac{1}{（n+3）[f（{a}_{n}）+1]}$=$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
∴{b_n}的前n項和P_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$．
=$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．
由$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{312}$≤$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$，
化為2（n+2）（n+3）≤312，
即（n+2）（n+3）≤12×13，
因此不等式的解是n≤10．
∴不等式的解集為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．