Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的對(duì)稱性和奇偶性；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），試問F（x）在（0，+∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）可以采用畫圖形的方法直觀上直接判定該函數(shù)的對(duì)稱性，再結(jié)合定義判定，也可以舉出反例，直接推翻奇偶函數(shù)的定義，．
（2）問題的實(shí)質(zhì)是屬于解關(guān)于x的方程問題，本題要注意絕對(duì)值符號(hào)去掉時(shí)要對(duì)變量x進(jìn)行討論．
（3）構(gòu)建函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）是我們解決此類問題的常見手段，有了具體的函數(shù)模型再結(jié)合其單調(diào)性性質(zhì)即可，注意對(duì)常量a的討論使用．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=

x-a   (x≥a) -x+a (x＜a)

可知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱．
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=|x|，顯然是一個(gè)偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠

f(x) -f(x)

，
故函數(shù)f（x）=|x-a|是非奇非偶函數(shù)．
（2）若a=2，且g²（x）f（x）=4x
可得：x²|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+

2

，
故所求的集合為{0，1，1+

2

}．
（3）對(duì)于 a＞0，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a+1)x-a (0＜x＜a) (a-1)x+a  (x≥a)

若a＞1時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，a），[a，+∞）上遞增，無最大值；
若a=1時(shí)，F(xiàn)（x）=

2x- 1  (x＜1)  1      (x≥1)

有最大值為1
若0＜a＜1時(shí)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）上遞增，在[a，+∞）上遞減，F(xiàn)（x）有最大值 F（a）=a²；
綜上所述得，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)F（x）有最大值．

點(diǎn)評(píng)：1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件．
2、判定函數(shù)奇偶性常見步驟：①判定其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
②判定f（x）與f（-x）的關(guān)系．
提醒：含有參數(shù)的最值問題，往往需要通過對(duì)參數(shù)的分類討論其單調(diào)性來求解．