Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=BC=AC=a，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求三棱錐E-A₁CC₁的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，連接EF，由E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AC₁中點(diǎn)，知EF∥BC₁，由此能夠證明BC₁∥平面A₁CE．
（2）過E作EG⊥AC于G，由AA₁⊥平面ABC，知AA₁⊥EG，由EG⊥AC，知EG⊥平面AA₁CC₁，由此能求出三棱錐E-A₁CC₁的體積．

解答：解：（1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，連接EF，
∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AC₁中點(diǎn)，∴EF∥BC₁，
又∵EF?平面A₁CE，BC₁?平面A₁CE，
∴BC₁∥平面A₁CE．…（6分）
（2）過E作EG⊥AC于G，
∵AA₁⊥平面ABC，EG?平面ABC，
∴AA₁⊥EG，
∵EG⊥AC，AC∩AA₁=A，∴EG⊥平面AA₁CC₁，
在等邊△ABC中，E是AB中點(diǎn)，EG⊥AC，AB=a，
∴EG=

3

4

a．
∵VE-A1CC1=

1

3

S△A1CC1•EG=

1

3

×

1

2

×A1C1×CC1×EG=

3

24

a3，
∴三棱錐E-A₁CC₁的體積為

3

24

a3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地化空間問題為平面問題．