Question

極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為

以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo) 系，且兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度.

（Ⅰ）求該橢圓的直角標(biāo)方程；若橢圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，求的取值范圍；

（Ⅱ）若橢圓的兩條弦交于點(diǎn)，且直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)，

求證:.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)該橢圓的直角標(biāo)方程為，                2分

設(shè)，

所以的取值范圍是                        4分

（Ⅱ）應(yīng)用直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），（5分）

代入得：

確定， ，

證得。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)該橢圓的直角標(biāo)方程為，                2分

設(shè)，

所以的取值范圍是                        4分

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，直線(xiàn)的傾斜角為，

則直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），（5分）

代入得：

即  7分

設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，則，  8分

同理       9分

所以（10分）

考點(diǎn)：本題主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程及參數(shù)方程的應(yīng)用，兩角和差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系互化，，。參數(shù)方程的應(yīng)用，多應(yīng)用于確定線(xiàn)段的長(zhǎng)度，結(jié)合韋達(dá)定理，往往化難為易。