Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=3，前n項(xiàng)和為S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n
（Ⅰ）判斷數(shù)量{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，證明

n

k=1

Ck＜1；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{l_n}滿足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^•），在每兩個(gè)l_k與l_k+1之間都插入2^k-1（k=1，2，3，…，k∈N^•）個(gè)2，使得數(shù)列{l_n}變成了一個(gè)新的數(shù)列{t_p}，（p∈N^•）試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{t_p}的前m項(xiàng)的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)已知等式，將a_n=S_n-S_n-1和a_n+1=S_n+1-S_n代入，化簡整理得a_n+1=2a_n+1，由此即可證出數(shù)列{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列；
（II）由a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），得bn=1+

n(n-1)

2

，從而C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂項(xiàng)求和法得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為

n

k=1

Ck=1-

1

2n+1-1

．由此能證明

k

k=1

Cn＜1．
（Ⅲ）首先根據(jù)a_n通項(xiàng)公式算出l_n=n（n∈N^*），結(jié)合題意利用等差、等比數(shù)列的求和公式算出得到數(shù)列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有項(xiàng)之和等于

k(k+1)

2

+2^k-2．再驗(yàn)證當(dāng)k=10時(shí)，和為1077＜2011；當(dāng)k=11時(shí)，和為2112＞2011．從而得到2011項(xiàng)在k=10與k=11之間，而2011-1077=467×2恰好為2的整數(shù)倍，由此加以計(jì)算即可得到存在m=998，使得T_m=2011．

解答： （Ⅰ）解：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
證明如下：
∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=3，前n項(xiàng)和為S_n，
且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又∵a₁=1，a₂=3
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，得b_n+1=b_n+n，
∴bn=1+

n(n-1)

2

，
∴C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為：

n

k=1

Ck=（

1

2-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＜1．
∴

k

k=1

Cn＜1．
（Ⅲ）解：由（I），得a_n+1=（a₁+1）•2^n-1，
∵a₁+1=2，∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1，
得b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，即b_n+1=log₂2ⁿ+b_n，b_n+1=n+b_n，
∴b_n+1-b_n=n，分別取n=1、2、3、…、n-1
得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+[1+2+3+…+（n-1）]=1+

n(n-1)

2

，∵l_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n（n∈N^*）
數(shù)列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有項(xiàng)之和為：
（1+2+3+…+k）+2（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）=

k(k+1)

2

+2^k-2
當(dāng)k=10時(shí)，其和為55+2¹⁰-2=1077＜2011；
當(dāng)k=11時(shí)，其和為66+2¹¹-2=2112＞2011
又∵2011-1077=467×2，恰好為2的整數(shù)倍
∴當(dāng)m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+467=988時(shí)，T_m=2011
綜上所述，得存在m=998，使得T_m=2011．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的通項(xiàng)與求和和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則等知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化、化歸與函數(shù)方程數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．