Question

【題目】已知圓的方程為，若拋物線過點(diǎn)，且以圓0的切線為準(zhǔn)線，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)過點(diǎn)作直線交曲線與兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，請問:直線是否過軸上的定點(diǎn)，如果不過請說明理由，如果過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過軸上的定點(diǎn)

【解析】分析：設(shè)直線和圓相切與點(diǎn)，過分別向直線m作垂線，垂足分別為，則

，由拋物線定義可知，，所以，由橢圓的定義可知，點(diǎn)F的軌跡為以為焦點(diǎn)，以4為長軸的橢圓，則曲線的方程可求；

(2)設(shè)，則直線的方程為

令y=0，，

設(shè)直線L：，

則（*） 聯(lián)立直線和橢圓方程，

可得的表達(dá)式，代入（*）式得：，即可證明直線過軸上的定點(diǎn).

詳解：

(1)設(shè)直線和圓相切與點(diǎn)，過分別向直線m作垂線，垂足分別為，則

，由拋物線定義可知，，所以，由橢圓的定義可知，點(diǎn)F的軌跡為以為焦點(diǎn)，以4為長軸的橢圓，方程為.

(2)設(shè)，則直線的方程為

令y=0，，

設(shè)直線L：，

則（*） 聯(lián)立直線和橢圓方程，

則，代入（*）式得：,所以直線過軸上的定點(diǎn).