Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）試證明：對(duì)?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f(x)=

lnx

x

-x，得f′（x），令f′（x）=0，得此方程的解；從而求得函數(shù)f（x）的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
故①當(dāng)0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增，最大值是f（2m）；
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減，最大值是f（m）；
③當(dāng)m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1時(shí)，最大值是f（1）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1，即在（0，+∞）上，恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，即是恒有l(wèi)nx≤x（x-1）；由于

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，即證．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

lnx

x

-x，∴f′(x)=

1-lnx

x2

-1，令f′（x）=0，得x²=1-lnx，顯然x=1是此方程的解；
令g（x）=x²+lnx-1，其中x∈（0，+∞），則g′(x)=2x+

1

x

＞0；
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
故①當(dāng)0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-2m；
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-m；
③當(dāng)m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
∴對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）；
∵

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，
即對(duì)?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性求得函數(shù)的最值問題，也考查了利用函數(shù)證明不等式恒成立的問題，屬于較難的題目．