Question

11．在極坐標系中，已知A（$\sqrt{2}$，0）到直線l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=m，（m＞0）的距離為3．
（1）求m的值．
（2）設P是直線l上的動點，點Q在線段OP上，滿足|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=1，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）以極點為原點，極軸為x的正半軸建立直角坐標系，求出A的坐標，直線l的直角坐標方程，利用點到直線的距離公式，即可求m的值．
（2）設Q（ρ，θ），P（ρ₀，θ₀），確定坐標之間的關系，即可求出點Q的軌跡方程．

解答 解：（1）以極點為原點，極軸為x的正半軸建立直角坐標系，則A（$\sqrt{2}$，0），
直線l的直角坐標方程是：x-y-$\sqrt{2}m$=0，A到l的距離$d=\frac{{|{\sqrt{2}+\sqrt{2}m}|}}{{\sqrt{2}}}=3$
∴m=2…（7分）
（2）由（1）得直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2，設Q（ρ，θ），P（ρ₀，θ₀），
則$\left\{\begin{array}{l}ρ{ρ_0}=1\\ θ={θ_0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{ρ_0}=\frac{1}{ρ}\\{θ_0}=θ\end{array}\right.$
∵$P∈l∴{ρ_0}sin（{θ_0}-\frac{π}{4}）=2∴\frac{1}{ρ}sin（θ-\frac{π}{4}）=2$
點Q的軌跡方程是：ρ=$\frac{1}{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）…（14分）

點評 本題考查軌跡方程，考查極坐標方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．