Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n通項(xiàng)a_n滿足2S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{_{n+2}}$（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求{c_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用2S_n+a_n=1，通過a_n=S_n-S_n-1，化簡推出數(shù)列{a_n}，是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，然后求解{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯位相減法，以及等比數(shù)列求和公式求解{c_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由2S_n+a_n=1，得${S_n}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）$，
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）-\frac{1}{2}（1-{a_{n-1}}）=-\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，
即2a_n=-a_n+a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$（由題意可知a_n-1≠0）．
∴{a_n}是公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，而${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}（1-{a_1}）$，
故${a_1}=\frac{1}{3}$，
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$．
又$\frac{2}{_{n+1}}=\frac{1}{_{n}}+\frac{1}{_{n+2}}$，得數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$是等差數(shù)列，
又$\frac{1}{b_1}=1，\frac{1}{b_2}=2$，
∴公差d=1，
∴$\frac{1}{_{n}}=n$，
∴$_{n}=\frac{1}{n}$（6分）
（2）由題意${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=n•{（\frac{1}{3}）^n}$，
則${T_n}=1×\frac{1}{3}+2×{（\frac{1}{3}）^2}+3×{（\frac{1}{3}）^3}+…+n×{（\frac{1}{3}）^n}$，…①
可得$\frac{1}{3}{T}_{n}=1×（\frac{1}{3}）^{2}+2×{（\frac{1}{3}）}^{3}+3×{（\frac{1}{3}）}^{4}+…+n×{（\frac{1}{3}）}^{n+1}$，…②
由錯位相減法①-②得：
$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{1}{3}+{（\frac{1}{3}）}^{2}+{（\frac{1}{3}）}^{3}+{（\frac{1}{3}）}^{4}+…+（{\frac{1}{3}）}^{n}-n×{（\frac{1}{3}）}^{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-（\frac{1}{3}）^{n}）}{1-\frac{1}{3}}-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-{（\frac{1}{3}）}^{n}）-n×{（\frac{1}{3}）}^{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4}×\frac{1}{3^n}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和錯位相減法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．