Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

mx

+lnx，m∈（0，+∞）
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 求出f′(x)=

mx-1

mx2

，利用f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，得到不等式，推出m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，即可求出m的范圍．
（Ⅱ） 利用m=1通過f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點(diǎn)，得到函數(shù)的最小值，求出函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ） 因?yàn)?span id="drp9pjt" class="MathJye">f′(x)=

mx-1

mx2

f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
所以

mx-1

mx2

≥0在[1，+∞）上恒成立，…（3分）
因?yàn)閙＞0，只需m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立
所以m的取值范圍是[1，+∞）…（6分）
（Ⅱ） 因?yàn)閙=1所以f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2
所以當(dāng)

1

2

≤x＜1時(shí)，f'（x）＜0所以f（x）是減函數(shù)
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0所以f（x）是增函數(shù)…（9分）
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點(diǎn)
所以y_min=0
又f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2
因?yàn)?span id="7vh7zfv" class="MathJye">f(

1

2

)＞f(2)
所以y_max=1-ln2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．