Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，其中k∈R，
（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)k＞ln2-1且x＞0時(shí)，f（x）＞x²-3kx+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x≥0，f（x）＞0恒成立．通過(guò)討論x的范圍，用分離參數(shù)法易求k；
（Ⅲ）問(wèn)題等價(jià)于e^x-x²+2kx-1＞0．令g（x）=e^x-x²+2kx-1，通過(guò)求導(dǎo)得到g（x）＞g（0）=0，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）∵f（|x|）為偶函數(shù)，所以若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，
f（|x|）＞0恒成立等價(jià)于對(duì)于任意x≥0，f（x）＞0恒成立．
當(dāng)x=0，時(shí)f（x）=1＞0恒成立，x≠0，時(shí)用分離參數(shù)法易求k∈（0，e）；
（3）f（x）=e^x-kx，f（x）＞x²-3kx+1，
即e^x-kx＞x²-3kx+1等價(jià)于e^x-x²+2kx-1＞0．
令g（x）=e^x-x²+2kx-1，g′（x）=e^x-2x+2k，
令h（x）=e^x-2x+2k，h′（x）=e^x-2，
當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，h′（x）＜0
當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）≥h（ln2）=2（1-ln2+k），
∵k＞ln2-1，∴h（x）≥0，即g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，故命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．