Question

5．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹，對(duì)于任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 通過(guò)b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹與b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²作差可知b_n+1-b_n=2•3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹，進(jìn)而（-1）^n-1λ＜$（{\frac{3}{2}）}^{n}$對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)討論即得結(jié)論．

解答 解：∵b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹，
∴b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²，
兩式相減得：b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺²]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹]
=2•3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹，
∵對(duì)于任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，
∴對(duì)于任意的n∈N^*，都有3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜$（{\frac{3}{2}）}^{n}$對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，
∴當(dāng)n=2k-1時(shí)，λ＜$（\frac{3}{2}）^{2k-1}$≤$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n=2k時(shí)，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{2k}$≥-$\frac{9}{4}$；
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是：（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列遞推關(guān)系的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．