Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，為等邊三角形，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證面面平行即證線面平行，可根據(jù)面面平行的判定定理求證，可通過(guò)平面來(lái)進(jìn)行求證；

（2）線面角正弦值的求法可通過(guò)等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)求出點(diǎn)到平面距離，再結(jié)合正弦三角函數(shù)定義即可求解

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

∵分別是的中點(diǎn)，

∴，且，

∵，

∴，

∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）如圖，連結(jié)，

由（1）知平面，∴，

在中，，同理，

在梯形中， ，，

∵，為的中點(diǎn)，∴，

由題意得，

，

設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意得，

∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

∵，∴，解得.

∵，∴直線與平面所成角的正弦值.