Question

5．已知函數(shù)f（x）=mx-1，g（x）=x²-2mx+m
（1）m=1時，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）記函數(shù)G（x）=g（x）+f（x）
①若函數(shù)y=|G（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的范圍；
②是否存在整數(shù)a，b，使得關(guān)于x的不等式a≤G（x）≤b的解集為[a，b]，若存在求出a，b的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）m=1時，g（x）=x²-2x+1=（x-1）²，可得g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）①G（x）=g（x）+f（x）=x²-mx+m-1，利用函數(shù)y=|G（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，可得m-1＜1或1＜m-1≤2，即可求實數(shù)m的范圍；
②假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的兩個實數(shù)根為a，b．即可得出．

解答 解：（1）m=1時，g（x）=x²-2x+1=（x-1）²，單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1）；
（2）①G（x）=g（x）+f（x）=x²-mx+m-1
∵函數(shù)y=|G（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴m-1＜1或1＜m-1≤2或4≤$\frac{1}{2}$m＜m-1，
∴m＜2或2＜m≤3或m≥8；
②假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．則f（a）=a，f（b）=b．
∴x²-mx+m-1=x的兩個實數(shù)根為a，b．
∴a+b=m+1，ab=m-1．
當(dāng)b=1時，a不存在，舍去；
當(dāng)b≠1時，a=1-$\frac{1}{b-1}$，只有b=2或0時，可得a=0，2．
又a＜b，
∴存在整數(shù)a=0，b=2時，使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、“三個二次”的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．