Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow$=（2，x），$\overrightarrow{c}$=（2，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，求：
（1）$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$；       
（2）$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$的夾角；   
（3）|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|

Answer 1

分析 （1）通過向量共線求出x，向量垂直求出y，即可利用數量積求解．
（2）利用向量的數量積求解夾角即可．
（3）直接求解向量的模即可．

解答 解：（1）∵$\vec a∥\vec b$，∴$\frac{2}{3}=\frac{x}{-4}$，∴x=-$\frac{8}{3}$，可得$\overrightarrow$=（2，$-\frac{8}{3}$），…（2分）
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，∴y=$\frac{3}{2}$，∴$\overrightarrow{c}$=（2，$\frac{3}{2}$），…（4分）
∴$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=2×2-$\frac{8}{3}×\frac{3}{2}$=0…（6分）
（2）cos$＜\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow\right|\left|\overrightarrow{c}\right|}$=0．
∴$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$的夾角為：90°…（8分）
（3）由（1）$\overrightarrow$=（2，$-\frac{8}{3}$），$\overrightarrow{c}$=（2，$\frac{3}{2}$），
∴|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=|（2+2，-$\frac{8}{3}+\frac{3}{2}$）|=|（4，-$\frac{7}{6}$）|=$\sqrt{{4}^{2}+{（-\frac{7}{6}）}^{2}}$=$\frac{25}{6}$  …（12分）
（采用其他方法做對，酌情給分�。�

點評 本題考查平面向量的數量積的運算，向量的共線與垂直的應用，考查計算能力．