Question

17．在△ABC所在平面內(nèi)一點P，滿足$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，延長BP交AC于點D，若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$，則λ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 用特殊值法，不妨設(shè)△ABC是等腰直角三角形，腰長AB=AC=1，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法和向量共線，求出點D的坐標(biāo)，即可得出λ的值．

解答 解：根據(jù)題意，不妨設(shè)△ABC是等腰直角三角形，
且腰長AB=AC=1，
建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A（0，0），B（1，0），C（0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，1）；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$）；
設(shè)點D（0，y），
則$\overrightarrow{BD}$=（-1，y），
由$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{BD}$共線，得y=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，1），
當(dāng)$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$時，
λ=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查平面向量的基本定理及其意義，也考查了轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力．