Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|（a＞0）
（1）證明：f（x）≥2；
（2）若f（2）＜3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|a|+|$\frac{1}{a}$|，再利用基本不等式證得|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2，從而證得結(jié)論．
（2）f（2）＜3，即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜3，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|≥|（x+$\frac{1}{a}$）-（x-a）|=|a+$\frac{1}{a}$|=|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2，
故f（x）≥2 成立．
（2）f（2）＜3，即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜3，
當a＞1 時，可得2+$\frac{1}{a}$+|a-2|＜3，即|a-2|＜1-$\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}$-1＜a-2＜1-$\frac{1}{a}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a-\frac{1}{a}＞1}\\{a+\frac{1}{a}＜3}\end{array}\right.$，
求得 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

a=1 時，可得|2+1|+|2-1|＜3不成立，故a≠1．
0＜a＜1時，可得 2+$\frac{1}{a}$+2-a＜3，即 a-$\frac{1}{a}$＞1，即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a-\frac{1}{a}＞1}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
綜上可得，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．