Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DA，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥EF；
（2）當(dāng)EF=

2

時，求在四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得PD⊥CD，由正方形性質(zhì)，得CD⊥AD，從而CD⊥AP，由三角形中位線定理得EF∥AP．由此能證明CD⊥EF．
（2）由EF=

1

2

AP，且EF=

2

，得AP=2

2

，由△PAD為等腰直角三角形，得PD=AD=2，點(diǎn)F到底面ABCD的距離為

1

2

PD=1，由此能求出四棱錐F-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD…（2分）
∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，從而CD⊥AP…（4分）
又E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，
∴EF∥AP．∴CD⊥EF…（6分）
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且EF=

2

，
∴AP=2

2

…（8分）
又由題意知，△PAD為等腰直角三角形，∴PD=AD=2．
又∵點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F到底面ABCD的距離為

1

2

PD=1…（10分）
∴四棱錐F-ABCD的體積為V=

1

3

×2×2×1=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用．