已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=2x-9,且f(0)的值為整數(shù),當x∈(n,n+1](n∈N*)時,f(x)的值為整數(shù)的個數(shù)有且只有1個,則n= .
【答案】分析:因為f'(x)=2x-9,所以可設f(x)=x2-9x+k,則f(0)=k為整數(shù),由于n為正整數(shù),可得f(n+1)及f(n)均為整數(shù),函數(shù)的對稱軸為x=4.5,利用函數(shù)的最大值與最小值的差,可得結論.
解答:解:因為f′(x)=2x-9,所以可設f(x)=x2-9x+k,
由f(0)=k,k為整數(shù),n為正整數(shù),可得f(n+1)及f(n)均為整數(shù).
配方可得f(x)=x2-9x+k=(x-4.5)2-4.52+k,為開口向上的二次函數(shù),對稱軸為x=4.5
當x∈(4,5]時,f(x)max-f(x)min=f(5)-f(4.5)=0.25,
又f(5)=-20+k∈Z,故只有1個整數(shù)f(5).
即當x∈(4,5]時,f(x)的值為整數(shù)的個數(shù)有且只有1個
故答案為:4
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)解析式的運用,屬于基礎題.