已知坐標原點為O，A、B為拋物線y2=4x上異于O的兩點，且
OA
•
OB
=0，則|
AB
|的最小值為（　�。�
A、4B、8C、16D、64
考點：拋物線的簡單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算
專題：向量與圓錐曲線
分析：分AB所在的直線與x軸垂直和不垂直討論，垂直時直接求出|
AB
|，不垂直時設(shè)出直線AB的方程，和拋物線聯(lián)立后利用
OA
•
OB
=0把直線的截距用斜率表示，再由弦長公式把|
AB
|用含有直線的斜率表示，利用二次函數(shù)分析最小值后得答案．
解答： 解：不妨設(shè)A在第一象限，
當AB的連線垂直于x軸時，由
OA
•
OB
=0可得OA所在直線的斜率為1，則直線OA的方程為y=x，
聯(lián)立
y2=4x
y=x
，得A（4，4），
∴B（4，-4），此時|
AB
|=8；
當AB的連線斜率存在且不等于0時，設(shè)AB方程為y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y=kx+b
y2=4x
，得k2x2+（2kb-4）x+b2=0．
x1+x2=
4-2kb
k2
，x1x2=
b2
k2
．
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=k2•
b2
k2
+kb•
4-2kb
k2
+b2=2b2+
4b-2kb2
k
．
由
OA
•
OB
=0，得x1x2+y1y2=
b2
k2
+2b2+
4b-2kb2
k
=
b2+2k2b2+4kb-2k2b2
k2
=0．
∴b=-4k．
∴|
AB
|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
•
(4-2kb)2
k4
-4
b2
k2

=
1+k2
•
16(1+4k2)
k4
=4
1+5k2+4k4
k4
=4
(
1
k2
)2+5
1
k2
+4
．
∵
1
k2
＞0，
∴4
(
1
k2
)2+5
1
k2
+4
＞4
4
=8．
∴|
AB
|的最小值為8．
故選：B．
點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運用和知識遷移的能力．考查了學生的計算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|y=
2x+1
3-x
}，B={y|y=x2-2x+2}，則A∩B=（　　）
A、∅B、[1，3）
C、（3，+∞）D、[3，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果非零實數(shù)a、b、c兩兩不相等且2b=a+c，證明：
2
b
=
1
a
+
1
c
不成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
廣告費用x（萬元）42365
銷售額y（萬元）4019296151
（Ⅰ）根據(jù)上表可得求線性回歸方程；（注：y=a+bx，其中b=
x1y1+x2y2+xnyn-n
.
x
.
y
x12+x22+xn2-n
.
x
2
；a=
.
y
-b
.
x
）
（Ⅱ）據(jù)此模型，估計廣告費用為9萬元時銷售額為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一動圓恒過點A（-
2
，0）且恒與定圓B：（x-
2
）2+y2=12相切．
（1）求動圓圓心C（2）的軌跡M（3）的方程；
（2）過點p（0，2）的直線l與軌跡M交于不同的兩點E、F，求
PE
•
PF
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若|x|≤2時，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，則b2+c2的取值范圍為（　�。�
A、[32，74]
B、[24，32]
C、[36，74]
D、[24，36]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，∠ACB=45°，BC=4，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）

（1）當BD的長為多少時，△BCD的體積最大；
（2）當△BCD的體積最大時，設(shè)點M為棱AC的中點，試求直線BM與CD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+3x+2，數(shù)列{an}滿足a1=a，且an+1=f′（an）（n∈N*），則該數(shù)列的通項公式an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球為球O，P為球O的球面上動點，DP⊥BC1，則點P的軌跡的周長為（　�。�
A、π
B、
2
π
C、
3
π
D、2π

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